Colaboración especial de Aleix Casals Cheng, becario Sicómoro en el Máster de Física de los Sistemas Complejos del IFISC (UIB-CSIC)

Introducción: ¿Por qué España y Portugal no miden igual su frontera?

A mediados del siglo XX, el meteorólogo y matemático Lewis Fry Richardson comparaba anuarios oficiales cuando observó algo curioso: la longitud de la frontera compartida entre España y Portugal variaba según quién la midiera. Los españoles registraban 987 km, mientras que los portugueses documentaron 1.214 km, una diferencia considerable.

¿Estaba alguien mintiendo?

En absoluto. La diferencia no estaba en la frontera, sino en la manera de medirla. Si seguimos un contorno geográfico con segmentos de 100 km, pasamos por alto pequeños entrantes y salientes. Si usamos segmentos de 1 km, empezamos a capturar más detalles. Y si midiéramos metro a metro, la longitud crecería todavía más.

Esto ocurre porque las fronteras naturales no son líneas suaves. Están llenas de irregularidades que aparecen tanto al mirarlas de lejos como al acercarnos más. Cada vez que usamos una unidad de medida más pequeña, descubrimos nuevos pliegues que antes no veíamos.

Esta idea fue formalizada en 1967 por Benoît Mandelbrot [1], quien introdujo el término fractal, del latín fractus (roto, fragmentado), para describir formas cuya complejidad no desaparece al cambiar de escala. Una de sus propiedades más características es que pueden tener dimensión fraccionaria, es decir, un valor no entero como 1.5.

En nuestro caso, nos centraremos en fractales en dos dimensiones, como los que podemos representar en una pantalla. En ellos, los fractales no se comportan exactamente como una línea ni como una superficie, sino como algo intermedio: ocupan más espacio que una línea, pero sin llegar a rellenar completamente el plano.

Aunque el término es relativamente reciente, la intuición detrás de los fractales es más antigua. A finales del siglo XIX, algunos matemáticos construyeron objetos como la curva de Koch o el conjunto de Cantor, estructuras definidas por reglas simples pero con una geometría extremadamente irregular. Durante mucho tiempo se consideraron curiosidades sin una conexión clara con el mundo real.

Con la llegada de los ordenadores, esta perspectiva cambió por completo. Muchas de estas formas se generan repitiendo estas mismas reglas una y otra vez, algo complejo de estudiar a mano, pero natural para un ordenador. Esto permitió visualizarlas y, sobre todo, utilizarlas para modelar patrones reales.

Los fractales aparecen constantemente en la naturaleza: en las costas, en las montañas, en las ramas de un árbol o en la escarcha que se forma sobre un cristal en una mañana fría. En cierto sentido, la naturaleza prefiere las formas irregulares y rugosas. Somos nosotros quienes insistimos en dibujar círculos perfectos y rectángulos impecables.

El misterio de las formas ramificadas

Entre todas estas estructuras irregulares, hay un tipo que aparece de forma recurrente y resulta especialmente llamativo: las formas ramificadas. Podemos encontrarlas en la escarcha sobre un cristal, en las dendritas minerales que crecen dentro de una roca o incluso en ciertos procesos de electrodeposición, donde se forman estructuras ramificadas similares a corales.

Esto nos lleva a la siguiente pregunta: ¿cómo pueden surgir estructuras tan parecidas en procesos diferentes? En lugar de analizar todos los detalles físicos de cada sistema, podemos intentar capturar lo esencial con un modelo sencillo.

Tomemos como ejemplo la escarcha en una ventana. Podemos imaginar que las moléculas de agua presentes en el aire se mueven hasta tocar el cristal, donde se congelan. La estructura comienza a partir de un punto inicial y crece a medida que nuevas partículas se van adhiriendo.

Si observamos este proceso con más detalle, resulta poco realista pensar que las partículas se mueven en línea recta hasta el punto donde se adhieren. Más bien, su trayectoria es irregular y difícil de predecir, como resultado de múltiples interacciones con su entorno. Para describir este tipo de movimiento, utilizamos lo que se conoce como un camino aleatorio (random walk), una forma sencilla de modelar desplazamientos erráticos.

Semillas, paseos y agregación: los modelos DLA y RLA

A partir de esta idea, podemos construir modelos computacionales que reproduzcan el crecimiento de estas estructuras. Uno de los más conocidos es el modelo de agregación limitada por difusión, introducido en 1981 por Thomas A. Witten Jr. y Leonard M. Sander [2], llamado DLA (Diffusion-Limited Aggregation). Junto a él, también estudiaremos una variante, el modelo RLA (Reaction-Limited Aggregation).

El funcionamiento de estas simulaciones puede describirse con unas reglas muy sencillas. En nuestro caso, trabajaremos sobre una cuadrícula, como la que aparece en las animaciones, donde el espacio se divide en pequeños cuadrados.

• La semilla. Comenzamos colocando una partícula fija en el centro del espacio, que actúa como punto inicial del crecimiento de la estructura.
• El paseo. Liberamos nuevas partículas, una a una, desde una distancia lejana a la semilla. Cada partícula realiza un camino aleatorio: en cada paso, salta al azar hacia un cuadrado vecino (arriba, abajo, izquierda o derecha) con la misma probabilidad. Para hacer la simulación más eficiente (como se verá en las animaciones), introducimos un radio de generación (spawning radius) un poco más allá de la estructura que estamos creando y un radio de eliminación (killing radius) a partir del cual las partículas son eliminadas y reintroducidas. De esta forma, evitamos gastar tiempo de computación con partículas que se alejan tanto que es muy improbable que vuelvan a interactuar con la estructura.
• El contacto. Cuando una partícula alcanza el agregado central, su comportamiento depende del modelo.

  • En el DLA, la partícula se pega inmediatamente.

  • En el RLA, en cambio, la partícula es más selectiva: solo se queda adherida con una cierta probabilidad p, menor que 1.

Repitiendo este proceso muchas veces, la estructura crece progresivamente a partir de la semilla. Una vez definido el modelo, podemos estudiar qué tipo de estructuras genera y cómo dependen de las reglas que hemos introducido.

Animación representando el momento inicial de las simulaciones del modelo DLA. Desde una hasta 11 partículas. Identificamos los radios de extinción y generación y cómo varían a medida que la estructura central va aumentando en tamaño. El caminador aleatorio de color rojo llega a la estructura central después de múltiples pasos por la cuadrícula. El cuadrado amarillo representa la semilla inicial.

Del modelo al patrón: qué observamos

Resultados del DLA: ¿es realmente un fractal?

A simple vista, los cúmulos generados por el modelo DLA recuerdan a copos de nieve: son ramificados, frágiles y están llenos de huecos. Esta similitud sugiere que el modelo captura algunos de los mecanismos que dan lugar a estructuras fractales en la naturaleza.

Sin embargo, en ciencia no basta con la intuición visual. Para caracterizar estas estructuras, necesitamos cuantificarlas.

Pie de imagen: Animación del crecimiento de un agregado en el modelo DLA, desde una sola partícula hasta 3600. La estructura resultante recuerda a un copo de nieve. Observamos que las ramas crecen más rápido porque las partículas que llegan desde el exterior alcanzan antes las puntas que el interior del agregado.

Para cuantificar “cuánto espacio” ocupa la estructura, utilizamos una cantidad llamada radio de giro (Rg). De forma intuitiva, este valor mide a qué distancia media se encuentran las partículas respecto al centro del cúmulo.

Si estudiamos cómo crece este radio a medida que añadimos partículas (N), podemos extraer la dimensión fractal (Df). Esta dimensión nos indica cuán densamente la estructura ocupa el espacio.

El método que hemos usado está explicado en [2], pero además se puede obtener la dimensión con otras técnicas [3].

En nuestras simulaciones de DLA, esta dimensión resulta ser aproximadamente 1.71 ± 0.02. Este valor se obtuvo repitiendo la simulación 50 veces y midiendo la dimensión fractal en cada una de ellas, lo que nos permite estimar la variabilidad del resultado. Esto confirma que no es ni una línea (dimensión 1) ni una superficie (dimensión 2), sino una estructura que llena el plano dejando huecos a todas las escalas.

Resultados del RLA: la transición de ramificado a compacto

En el modelo RLA, podemos ajustar la probabilidad de adhesión p. Esto nos permite explorar cómo cambia la estructura cuando las partículas no se pegan tan fácilmente.

●       Para valores relativamente altos, como p = 0.1, el agregado sigue siendo ramificado, aunque algo más compacto (Df = 1.77 ± 0.02).

Pie de imagen: Animación del crecimiento de un agregado en el modelo RLA para p = 0.1, desde una sola partícula hasta 3600. La estructura resultante es más compacta, tiene menos agujeros que en el DLA

Sin embargo, si reducimos esta probabilidad, por ejemplo, a p = 0.001, el comportamiento cambia de forma notable (Df = 2.01 ± 0.01). La estructura se vuelve mucho más densa y termina pareciéndose a un disco casi compacto.

Pie de imagen: Animación del crecimiento de un agregado en el modelo RLA para p = 0.001, desde una sola partícula hasta 3600. La estructura resultante es prácticamente un disco y deja de ser fractal.

Este comportamiento se puede entender de forma intuitiva. Como es poco probable que las partículas se queden pegadas a la primera, muchas de ellas rebotan en las puntas exteriores y continúan su movimiento. En ese proceso, terminan accediendo a regiones más profundas de la estructura, donde finalmente se adhieren, rellenando progresivamente los huecos.

Conclusión: estructuras sorprendentes a partir de reglas simples

Volvamos a la frontera entre España y Portugal. La diferencia de unos 230 kilómetros no era un error, sino una pista sobre un hecho importante: la longitud de una línea irregular depende de la escala con la que se mide. Esta idea, que Benoît Mandelbrot formalizó con el concepto de fractal, aparece en muchos sistemas naturales.

A lo largo de este post hemos visto que estos patrones pueden surgir a partir de reglas muy simples. Modelando el movimiento errático de partículas y su adhesión, hemos podido reproducir estas estructuras ramificadas y estudiar cómo cambian al modificar las condiciones del proceso.

Más allá de este ejemplo concreto, los fractales pueden entenderse como una herramienta matemática para describir geometrías complejas. Permiten cuantificar cómo una estructura ocupa el espacio y comparar sistemas distintos mediante conceptos como la dimensión fractal. Por ello, ya se utilizan en contextos diversos, desde el crecimiento de materiales o el análisis de superficies hasta modelos de transporte y el estudio de señales biológicas, como los ritmos cardíacos o la actividad cerebral.

Los modelos que hemos utilizado no pretenden reproducir todos los detalles físicos, sino capturar lo esencial del proceso y ofrecer una forma de interpretar los patrones que observamos. En este sentido, deben interpretarse como un punto de vista simplificado, y no como una descripción exacta de los sistemas reales.

La próxima vez que veamos la escarcha en una ventana o las ramas de un árbol, sabremos que tras esas formas irregulares hay mecanismos simples que, al repetirse, dan lugar a estructuras sorprendentemente complejas.

Referencias:

[1] Benoît Mandelbrot (1967). How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, 156, 636–638. https://doi.org/10.1126/science.156.3775.636

[2] Witten, T. A., Jr.; Sander, L. M. (1981). Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon. Physical Review Letters, 47, 1400–1403. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.47.1400

[3] 3Blue1Brown (2020). Fractals, explained visually [Video en YouTube]. https://www.youtube.com/watch?v=gB9n2gHsHN4